“Sistemas de Simulación de Fenómenos Físicos y Sistemas Multimedia para el apoyo al Aprendizaje de la Física y la Matemática”

Es un sistema que muestra la animación del MRUA. La animación consiste de iconos, los cuales son utilizados para representar el desplazamiento de dos objetos que se mueven de acuerdo con las características de este tipo movimiento. El usuario podrá introducir libremente los valores de los tiempos, velocidades y posiciones iniciales, al igual que las aceleraciones con las que se moverán cada uno de los cuerpos. De igual forma, podrá fijar a su elección el tiempo final de la simulación. El objetivo que se persigue, es que se pueda observar simultáneamente el desplazamiento de ambos objetos, al variar los parámetros que rigen sus movimientos. También se incluye una ventana donde se muestran las gráficas de los movimientos de los objetos. Las celdas que se encuentran ubicadas a la izquierda de la figura, están diseñadas para que el usuario introduzca en ellas los valores de la posición y velocidad inicial, la aceleración y el tiempo final de cada uno de los objetos que intervienen en la simulación.

El sistema está basado en la ecuación 2 que corresponde a la ecuación para este tipo de movimientos:

Ecuación 2

Es un sistema que muestra la simulación del tiro parabólico. La simulación está constituida por gráficas que muestran simultáneamente el movimiento de dos objetos que se desplazan describiendo una trayectoria parabólica. El usuario podrá introducir a través de barras de desplazamiento los valores de los tiempos, de las posiciones, horizontal y vertical, y de las velocidades y ángulos iniciales con los cuales comenzarán a moverse los objetos. De igual forma, podrá fijar a su elección el tiempo de duración de la simulación. El programa mostrará los valores de las posiciones, tanto horizontal como vertical, al igual que los valores de las velocidades y ángulos finales de los objetos al término de la simulación. Con ello se desea que el usuario observe simultáneamente el desplazamiento de ambos cuerpos al variar los parámetros que rigen sus movimientos. En la figura  se muestra la distribución de las barras de desplazamiento y de la ventana de despliegue de las gráficas con la que cuenta el sistema.

que es la ecuación de la trayectoria del proyectil. La ecuación 5 nos indica que un proyectil puede ser lanzado con la misma rapidez inicial pero con ángulos diferentes. La velocidad vertical inicial es mayor para un ángulo de lanzamiento mayor y viceversa. El hecho de que la componente vertical de la velocidad inicial sea mayor, se traduce en una trayectoria más elevada. En este caso, los proyectiles alcanzarán mayores alturas. Cuando el ángulo es menor, el objeto permanece en vuelo durante un tiempo menor. De igual forma, esta ecuación nos indica que un proyectil puede ser lanzado con el mismo ángulo inicial y con diferentes rapideces. En esta situación, las velocidades iniciales, tanto horizontal como vertical, serán mayores conforme aumente el valor de la rapidez inicial. En consecuencia, la altura y el alcance logrado por el proyectil también aumentarán.

Es un sistema que muestra la suma de vectores por el método del paralelogramo y del polígono. El usuario podrá escoger el método gráfico que desee utilizar. Los valores de la magnitud y dirección de los vectores a sumar, se podrán introducir a través de barras de desplazamiento. Después de introducirlos, el sistema mostrará gráficamente la suma de los vectores de acuerdo con el método escogido. La resultante de la suma se mostrará gráfica y analíticamente. Las coordenadas de los vectores están representadas en coordenadas polares, es decir, a través de su longitud y dirección. Conforme se introduzcan los valores de las coordenadas, el sistema desplegará cada uno de los vectores que intervienen en la suma. El sistema desplegará la suma gráfica por el método del paralelogramo de los dos vectores. También se desplegará el valor de la longitud y de la dirección del vector resultante.

Por otra parte, la figura 2 muestra las opciones para el método del polígono. Esta ventana presenta seis barras de desplazamiento; tres para introducir las longitudes de los vectores y las otras tres para introducir su dirección. Conforme se introduzcan los valores de las coordenadas, el sistema desplegará cada uno de los vectores que intervengan en la suma. El sistema desplegará la suma gráfica por el método del polígono a través de una barra de desplazamiento. La barra de desplazamiento tiene un rango de 1 a 6 seis valores que corresponden con las diversas formas en que se pueden sumar los tres vectores. Al cambiar el valor de la barra de desplazamiento, se mostrará una suma particular.

Figura 2

En el estudio del movimiento de un proyectil se considera, además de la resistencia del aire, el efecto del viento, las variaciones de la intensidad de la gravedad con la altura, la rotación, la curvatura de la tierra y aún otros factores. En este trabajo se deduce y se analiza la ecuación que describe la trayectoria seguida por los proyectiles, suponiendo únicamente la influencia de la resistencia del aire. El camino seguido por un proyectil se denomina trayectoria. Los proyectiles describen trayectorias curvilíneas, las cuales pueden descomponerse en una componente horizontal y en otra vertical. La componente horizontal del movimiento de un proyectil es totalmente independiente de la componente vertical. Sus efectos combinados producen toda la gama de trayectorias curvas que describen los proyectiles. La trayectoria de un proyectil se puede analizar considerando por separado sus componentes horizontal y vertical. A diferencia del tiro parabólico, en el movimiento de los proyectiles se considera la resistencia del aire. En este caso interviene la masa del proyectil y el coeficiente de amortiguamiento. En un medio resistente como el aire, el movimiento de un proyectil se basa en la siguiente ecuación diferencial:

Donde que es el vector que define la posición del proyectil; es el tiempo; es la masa del proyectil; es la aceleración de la gravedad y es el coeficiente de amortiguamiento del aire. En el planteamiento de la ecuación, se supone que la resistencia que presenta el aire al movimiento, es proporcional a la velocidad del objeto. Este sistema muestra la trayectoria seguida por un proyectil. Se desea que el usuario observe, a través del sistema, la influencia de los diferentes parámetros que intervienen en el movimiento de los proyectiles. Para ello, las barras de desplazamiento que se encuentran en la parte superior de la ventana de la figura, están diseñadas para que el usuario introduzca a través de ellas los valores que caracterizan al movimiento de los proyectiles, como las masas y los coeficientes de amortiguamiento, los valores iniciales de la posición, del tiempo, de la rapidez y del ángulo inicial. De igual forma, existe una barra de desplazamiento para seleccionar el tiempo de duración de la simulación. Las cajas de texto colocadas en la parte media izquierda, son empleadas para desplegar, los valores de las posiciones, vertical y horizontal, del ángulo que forma el vector velocidad y de la rapidez de los objetos al final de la simulación.

Figura

Se dice que una onda es una vibración o perturbación que se propaga, por lo que no puede existir en un solo lugar. Las ondas pueden propagarse en un medio material o en el vacío. El sonido es una clase de onda que se propaga en un medio, como el aire. La luz es un tipo de onda que se propaga en el vacío. Una onda puede transportar energía, pero no hay transporte de materia aunque se propague en un medio. En general, existen dos tipos de ondas: longitudinales y transversales. Las ondas longitudinales son aquellas en que la propagación de la onda y la vibración del medio ocurren en la misma dirección. Las ondas transversales son aquellas en que la propagación de la onda y la vibración del medio ocurren en direcciones perpendiculares. La simulación consiste en gráficas que muestran las componentes y la resultante de la interferencia de un par de ondas transversales. La figura muestra la distribución de las diversas opciones con las que cuenta el sistema. Las barras de desplazamiento, que se encuentran en la parte superior de la pantalla, son utilizadas para que el usuario seleccione a través de ellas los valores de las amplitudes, de las frecuencias y de las fases de las ondas que intervienen en la simulación. De igual forma, existe una barra de desplazamiento para seleccionar el rango en el que se desplegarán las ondas. Este rango es el mismo para las dos ondas. Conforme se modifican las barras de desplazamiento, en las cajas de texto respectivas se desplegarán los valores de cada uno de los parámetros que rigen la simulación.

Figura

Un hecho cotidiano es que la luz cuando encuentra un objeto se refleja, se difunde, se absorbe o se transmite dependiendo de la naturaleza del objeto. Algunos medios como el agua o el vidrio dejan pasar la mayor parte de la luz que incide sobre ellos. A estos medios se les llama transparentes. La dirección de los rayos de luz se modifica al atravesar medios transparentes. Siempre que la luz atraviesa la superficie de separación de dos medios transparentes ocurre un cambio en su dirección. A este fenómeno se le denomina refracción. El ángulo que forma el rayo que incide sobre la superficie de separación entre dos medios transparentes y la normal a la superficie se llama ángulo de incidencia. De igual forma, el ángulo formado por el rayo que emerge de la superficie de separación y la normal a esta superficie, se denomina ángulo de refracción. La relación que existe entre el ángulo de incidencia, el ángulo de refracción y los índices de refracción de los medios por los que viaja la luz, está determinada por la Ley de Snell. La ley de Snell se encuentra establecida por la ecuación 5:

Ecuación 5

Este sistema simula la trayectoria descrita por un rayo al pasar de un medio a otro. La figura 8 muestra la distribución de las diversas opciones con las que cuenta el sistema. Las barras de desplazamiento que se encuentran en la parte superior de la pantalla, son utilizadas para que el usuario seleccione los valores del ángulo de incidencia y los valores de los índices de refracción de los medios por los que pasará el rayo. Conforme se modifican las barras de desplazamiento, en las cajas de texto respectivas, se desplegarán los valores de cada uno de los parámetros que rigen la simulación. También existen dos cajas de texto en la que se desplegará el valor del ángulo refractado o el ángulo reflejado, si el rayo es refractado o reflejado, respectivamente.

Figura

Alguna vez se ha preguntado: cuánto tiempo tarda una pelota en dejar de botar al ser soltada desde una cierta altura? La solución a esta interrogante involucra los temas de caída libre y colisiones elásticas, lo que incluye los conceptos de rapidez, aceleración de la gravedad y de restitución. Así, la rapidez con la que rebotará la pelota dependerá del valor de la rapidez con la que llegue al suelo y del coeficiente de restitución entre la superficie y la pelota. En una colisión perfectamente inelástica el coeficiente de restitución será igual a cero y la pelota se quedará adherida al suelo después del primer rebote. En una colisión perfectamente elástica, el coeficiente de restitución será igual a uno, por lo que la pelota rebotará con la misma rapidez que con la que llegue al suelo, siguiendo este movimiento indefinidamente. Si el coeficiente de restitución se encuentra entre cero y uno, que es la mayor parte de las colisiones, la rapidez de la pelota irá disminuyendo en cada rebote hasta que se detenga. De esta forma, el tiempo que tarde la pelota en dejar de botar será igual a la suma de los tiempos que tarda la pelota en cada rebote. Esta suma corresponde a una suma infinita, la cual está identificada con una expresión particular. Este sistema muestra la simulación del rebote de una pelota al ser soltada desde una altura determinada. Para comparar los resultados, la simulación muestra el tiempo calculado a través de la expresión deducida y el tiempo utilizado en la simulación. En este trabajo, el movimiento del objeto se considera en una sola dirección y sin rotación, al igual que se desprecia la fricción provocada por el aire.

Figura

La figura muestra la ventana de la simulación. En ella se encuentra la barra de desplazamiento que sirve para introducir los valores del coeficiente de restitución. En las cajas de texto se muestran el tiempo total de rebotes del objeto, la altura máxima alcanzada en cada rebote, la velocidad con la que choca el objeto con la superficie, la velocidad con la que rebota y el tiempo teórico. Después de escoger un coeficiente de restitución determinado, se podrá activar la animación por medio del botón de comando Iniciar Movimiento. Conforme la simulación se lleva a cabo, en los cuadros de texto correspondientes, se muestra el tiempo de movimiento de la simulación, la altura máxima que alcanzará en cada rebote, la velocidad con la que choca la pelota, la velocidad con la que rebota y el tiempo teórico de todo el movimiento. El usuario podrá observar diferentes movimientos para diferentes coeficientes de restitución dado.

La Dinámica es parte esencial para explicar el movimiento de los cuerpos. El movimiento de un cuerpo queda determinado por su interacción con el medio ambiente. La interacción de un cuerpo con su medio ambiente se le denomina fuerza. Para que un cuerpo experimente una aceleración, es necesario que la fuerza que se ejerza sobre él sea diferente de cero. Si la fuerza neta sobre un cuerpo es igual a cero, el cuerpo no experimentará una aceleración y permanecerá en estado de reposo o en movimiento rectilíneo uniforme. La segunda ley de Newton establece que la suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo es igual a su masa multiplicada por su aceleración. Así, para una masa dada, la aceleración que experimenta un cuerpo es directamente proporcional a la fuerza ejercida sobre éste y, para una fuerza dada, la aceleración que experimente un cuerpo es inversamente proporcional a su masa. Se presentan sistemas de simulación de fenómenos en los cuales se aplica la segunda ley de Newton. Los sistemas tienen por objetivo mostrar el movimiento de algunos cuerpos que están sujetos a diferentes fuerzas.

En la figura 1 se muestra la ventana principal del sistema que simula las aplicaciones de la Segunda Ley de Newton. En ella se muestran cuatro botones de comando. Uno de ellos corresponde al sistema Plano Inclinado, el otro al Plano Horizontal, el siguiente a la Máquina de Atwood y termina el programa.

Figura 1

Al escoger la opción Plano Inclinado aparecerá otra ventana como la mostrada en la figura 2. Las barras de desplazamiento sirven para introducir los valores del ángulo de inclinación del plano y del coeficiente de fricción. Para cada caso, el sistema mostrará el valor de la aceleración. Después de escoger un ángulo de inclinación y un coeficiente de fricción, se podrá activar la animación por medio del botón de comando Iniciar Movimiento. Conforme la simulación se lleva a cabo, en los cuadros de texto correspondientes, se mostrará el tiempo de deslizamiento y la distancia recorrida por el bloque. El usuario podrá observar que la distancia que recorre el bloque se puede calcular aplicando la fórmula correspondiente a la distancia en el movimiento rectilíneo uniformemente variado, para una aceleración y tiempo dado. Con el sistema se podrá determinar el coeficiente de fricción que corresponde a la tangente del ángulo para el cual el bloque comienza a deslizarse. También se podrá observar que la fricción que existe entre el bloque y el plano depende del ángulo de inclinación que forme el plano con la horizontal y del coeficiente de fricción. Así, para un ángulo particular, la fricción podrá ser mayor que la componente del peso en la dirección del plano. En este caso, el bloque permanecerá estático. Para que el bloque se deslice es necesario que aumente el ángulo de inclinación o que disminuya el coeficiente de fricción. Al disminuir el coeficiente de fricción, se observará que el valor de la aceleración podrá ser mayor a cero. En este momento, el bloque podrá desplazarse al activar la simulación.

Figura 2

Al escoger la opción Plano Horizontal aparecerá otra ventana como la mostrada en la figura 3. Las barras de desplazamiento se diseñaron para introducir los valores de las masas de los bloques y del coeficiente de fricción. Para cada una de las masas y coeficientes de fricción, el sistema mostrará el valor de la aceleración con la que se moverán los bloques y la tensión en la cuerda que los une. Después de escoger las masas de los bloques y el coeficiente de restitución, se podrá activar la animación por medio del botón de comando Iniciar Movimiento. Conforme la simulación se lleva a cabo, en los cuadros de texto correspondientes, se mostrará el tiempo de deslizamiento y la distancia recorrida por los bloques. El usuario podrá calcular la distancia que recorren los bloques, aplicando la fórmula de la distancia correspondiente al movimiento rectilíneo uniformemente variado, para una aceleración y tiempo dado. Con el sistema se podrá determinar el coeficiente de fricción entre el bloque y la superficie horizontal, con solo hacer variar la masa del bloque que se encuentra suspendida. Cuando el valor de la aceleración sea igual a cero, el peso del bloque suspendido se igualará con la fuerza de fricción.

Figura 3

Al escoger la opción Máquina de Atwood aparecerá otra ventana como la mostrada en la figura 4. Las barras de desplazamiento se diseñaron para introducir los valores de las masas de los bloques. Para cada una de las masas escogidas, el sistema mostrará el valor de la aceleración con la que se moverán los bloques y la tensión en la cuerda que los une. La aceleración será positiva si el bloque sube y negativa en caso contrario. Como el tamaño de la cuerda es constante, la aceleración con la que se moverán los bloques será la misma, independientemente de la dirección de su desplazamiento. Después de escoger las masas de los bloques, se podrá activar la animación por medio del botón de comando Iniciar Movimiento. Conforme la simulación se lleva a cabo, en los cuadros de texto correspondientes, se mostrará el tiempo de deslizamiento y la distancia recorrida por los bloques. El usuario podrá calcular la distancia que recorren los bloques aplicando la fórmula de la distancia correspondiente al movimiento rectilíneo uniformemente variado, para una aceleración y tiempo dado. Por razones de simplicidad el sistema no considera la masa de la polea, ni la fricción en su eje.

Figura 4

Los sistemas tienen la característica de que el tamaño de los bloques es proporcional a su masa. Así, conforme se disminuya o aumente su masa, su área irá disminuyendo o aumentando dependiendo de su valor. El área de los bloques será igual a cero cuando no exista masa. En este caso, el bloque estará representado por una línea recta. También los sistemas tienen la característica de que conforme se desplacen los bloques, en determinados intervalos de tiempo, aparecerán marcas que indican su posición. Las marcas tienen la función de mostrar que el movimiento de los bloques es acelerado, por lo que su velocidad aumenta uniformemente. Así, las distancias entre marcas no serán las mismas debido a que la velocidad aumenta conforme el tiempo transcurre.

El programa que simula el movimiento angular se muestra en la figura. El sistema simula el movimiento circular simultáneo de dos objetos de acuerdo con el movimiento angular. Así, los valores del tiempo, el desplazamiento y la velocidad angular inicial y final, al igual que la aceleración angular, el tiempo inicial y final de la simulación, pueden ser introducidos por medio de barras de desplazamiento. Al final de cada simulación, el programa desplegará el desplazamiento angular de cada cuerpo.

Figura

Este trabajo tiene por objetivo mostrar las características principales de la recursión. La recursión es una de las herramientas de programación mas poderosas, siendo un proceso alterno que es utilizado para cálculos repetitivos en los que cada acción se determina en función de un resultado anterior. La mayoría de los problemas pueden resolverse de una manera directa usando métodos no recursivos; sin embargo, otros pueden resolverse de una manera más lógica y elegante mediante la recursión. Este sistema desarrolla técnicas para encontrar soluciones recursivas a algunos problemas que también pueden resolverse por métodos iterativos. La idea de esto es mostrar la lógica de la programación recursiva a través de problemas sencillos. La figura 1 muestra las diferentes opciones con la que cuenta el sistema: suma, producto, potencia, raíz cuadrada, Fibonacci y Torres de Hanoi. Estas opciones muestran algunos de los problemas que pueden ser resueltos con la Recursión. El usuario podrá activar cualquiera de ellas con solo hacer clic en la opción correspondiente.

Figura 1

Una de las opciones que presenta el sistema es el problema conocido como Torres de Hanoi, que consiste en tres postes A, B y C. En el poste A se coloca cualquier número de discos de diámetro diferente de tal manera que un disco de diámetro mayor siempre quede debajo de un disco de diámetro menor. Observe la figura 2.

Figura 2

El objetivo es mover los discos al poste C usando el B como auxiliar. Solo puede moverse el disco superior de cualquier poste a otro poste y un disco mayor jamás podrá quedar sobre uno menor. La recursión presenta una manera elegante de solucionar el problema planteado. La siguiente lista muestra los pasos que se deben seguir para el caso de tres discos.

1. MOVER DISCO 1 desde A hasta C
2. MOVER DISCO 2 desde A hasta B
3. MOVER DISCO 1 desde C hasta B
4. MOVER DISCO 3 desde A hasta C
5. MOVER DISCO 1 desde B hasta A
6. MOVER DISCO 2 desde B hasta C
7. MOVER DISCO 1 desde A hasta C

Este sistema muestra la traslación y la rotación de un cubo alrededor de cualquiera de los tres ejes del espacio euclidiano. De igual forma, se presenta el aumento o disminución del volumen del cubo, conocido como escalación. Los cambios de orientación y tamaño se realizan con transformaciones geométricas que alteran las coordenadas de los objetos. Las transformaciones geométricas básicas son traslación, rotación y escalación. Los procedimientos generales para aplicar parámetros de traslación, rotación y escalación para cambiar la posición y el tamaño de un objeto se basan en ecuaciones de transformación. Las ecuaciones de transformación son matrices cuyos arreglos dependen del tipo de traslación, de rotación o de escalamiento. La Figura  muestra las barras de desplazamiento relacionadas con las traslaciones, las rotaciones y la escalación. Con solo oprimirlas podrá observar cada una de estas rutinas.

Figura

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El análisis combinatorio es una rama del Álgebra que estudia las permutaciones y combinaciones. Una permutación de n cosas tomadas k a la vez, es una permutación que contiene únicamente k de las n cosas dadas. Cualquier pareja de estas permutaciones que constan de los mismos k elementos, pero en un orden diferente, son diferentes por definición. Una permutación de n cosas tomadas una vez k de ellas a la vez con repeticiones, es una arreglo que se obtiene colocando cualquier cosa dada en la primera posición, e incluyendo una repetición de la cosa antes usada en la segunda, y se continúa así hasta que se llenan k posiciones. El número de combinaciones de n cosas diferentes tomando k a la vez, sin repeticiones, es el número de conjuntos que se pueden formar con las n cosas, conteniendo cada conjunto k cosas diferentes, y sin que dos conjuntos contengan exactamente las mismas k cosas. El número de combinaciones de n cosas diferentes tomando k a la vez, con repeticiones, es el número de conjuntos que se pueden formar de k cosas escogidas de las n dadas, usándose cada una de ellas tantas veces como se quiera. La figura  muestra los botones de comando relacionados con las combinaciones y permutaciones, con repetición y sin repetición. La barra de desplazamiento escoge la cantidad de elementos del conjunto de combinaciones y permutaciones con repetición y sin repetición que el sistema genera. Son 4 la cantidad máxima de elementos que se pueden escoger, las cuales están relacionadas con las 4 primeras letras del alfabeto. Al oprimir algún botón de comando se desplegará la lista de conjuntos de letras que genera el sistema y en la caja de texto se muestra la cantidad de elementos de ese conjunto de acuerdo con la permutación o combinación con repetición o sin repetición que el usuario haya escogido.

Figura

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La calculadora científica no solo realiza operaciones elementales como suma, resta multiplicación y división. También puede elevar al cuadrado, al cubo y, en general, a cualquier potencia. De igual forma, puede calcular el inverso multiplicativo de cualquier cantidad, excepto el cero por no estar definida esta división. También puede calcular el factorial de cualquier número, incluyendo cantidades decimales; lo que otras calculadoras no tienen diseñada esta operación. La calculadora incluye los cálculos de funciones trigonométricas, al igual que las funciones trigonométricas hiperbólicas. También puede hacer los cálculos inversos de las funciones trigonométricas, normales como hiperbólicas. Similarmente, la calculadora tiene contemplado calcular logaritmos en base diez y logaritmos neperianos con sus correspondientes funciones inversas. Es conveniente mencionar que la calculadora puede hacer operaciones con ángulos en forma sexagesimal y en radianes. Tiene una tecla especial para desplegar el valor de Pi, eliminando la necesidad de introducir este valor a través de las teclas de números. Equivalentemente, tiene una tecla para cambiar el signo de la cantidad que se muestra desplegada. En consecuencia, se puede alternar una cantidad entre positivo y negativo, dependiendo de los cálculos que quiera hacer el usuario. Así, el usuario podrá hacer una infinidad de operaciones dependiendo de los cálculos que quiera realizar. Debemos decir que esta calculadora, a pesar de poder realizar muchas operaciones, no tiene un editor de ecuaciones que permita realizar una serie de operaciones simultáneamente. En consecuencia, la calculadora sólo puede hacer operaciones binarias; hace operaciones de una en una. A pesar de esta limitante, la calculadora ofrece una poderosa herramienta para hacer cualquier tipo de operaciones que el usuario necesite realizar.

Figura

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